Para encontrar a lei de uma função afim a partir de dois pontos distintos A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), primeiro calcule a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) e depois use um dos pontos para obter b = y₁ − ax₁. A expressão procurada é f(x) = ax + b. Esse procedimento exige x₁ diferente de x₂; quando as abscissas são iguais e as ordenadas diferentes, a reta é vertical e não representa uma função de x.
O que os coeficientes a e b representam?
Na expressão f(x) = ax + b, o coeficiente a mede a variação de y para cada unidade de variação de x e determina a inclinação da reta. Se a é positivo, a reta sobe da esquerda para a direita; se é negativo, desce; se é zero, é horizontal. O coeficiente b é o valor de f(0), isto é, a altura em que a reta cruza o eixo y, no ponto (0, b). Quando a = 0, a expressão descreve uma função constante, que não é uma função polinomial de primeiro grau.
Passo a passo para achar a lei por dois pontos
- Identifique as coordenadas A(x₁, y₁) e B(x₂, y₂), mantendo cada x associado ao seu y.
- Confira se x₂ − x₁ é diferente de zero. Se for zero, examine o caso de reta vertical antes de tentar dividir.
- Calcule a inclinação: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). A ordem da subtração deve ser a mesma no numerador e no denominador.
- Substitua as coordenadas de um dos pontos em y = ax + b e isole b = y₁ − ax₁.
- Escreva a lei f(x) = ax + b e substitua nela os dois valores de x para verificar se os y encontrados coincidem com os dados.
Exemplo 1: dois pontos com coordenadas inteiras
Considere A(1, 2) e B(4, 5). A variação de y é 5 − 2 = 3 e a de x é 4 − 1 = 3. Portanto, a = 3/3 = 1. Usando A, obtemos 2 = 1 · 1 + b, logo b = 1. A lei é f(x) = x + 1.
Faça a substituição de controle nos dois pontos: f(1) = 1 + 1 = 2 e f(4) = 4 + 1 = 5. No gráfico, marque A e B, marque também (0, 1), que é o intercepto no eixo y, e trace a única reta que passa pelos dois pontos distintos. Ao avançar três unidades em x, ela sobe três em y.
Exemplo 2: pontos com coordenadas fracionárias
Agora use A(0, 1/2) e B(2, 3/2). O cálculo fica a = [(3/2) − (1/2)]/(2 − 0) = 1/2. Como o primeiro ponto já tem x = 0, seu y fornece diretamente b = 1/2. Assim, f(x) = (1/2)x + 1/2.
Conferindo: f(0) = 1/2 e f(2) = 1 + 1/2 = 3/2. No plano cartesiano, a reta cruza o eixo y em 1/2 e sobe uma unidade em y quando x aumenta duas unidades. Frações não mudam o método: basta conservar as operações e as escalas do gráfico.
Exemplo 3: quando os pontos não definem uma função de x
Considere A(2, 1) e B(2, 4). O denominador da fórmula seria 2 − 2 = 0, e não é permitido dividir por zero. Os pontos determinam a reta vertical x = 2, mas não uma lei do tipo f(x) = ax + b: para o mesmo x = 2 haveria y = 1 e y = 4. No gráfico, os pontos ficam alinhados verticalmente, o que também revela que a relação falha no teste da reta vertical.
A ressalva é importante: se os dois pares ordenados fossem exatamente iguais, não haveria dois pontos distintos para determinar uma reta única. Esse caso também não permite deduzir uma única lei a partir dos dados fornecidos.
Como conferir a resposta no gráfico e pela substituição
- Encontre o intercepto (0, b) e marque esse ponto no eixo y.
- Use o valor de a = Δy/Δx para identificar o deslocamento vertical e horizontal; por exemplo, a = 1/2 corresponde a subir 1 ao avançar 2.
- Marque os dois pontos originais, respeitando a escala de cada eixo. Eles e (0, b) devem pertencer à mesma reta.
- Calcule f(x₁) e f(x₂); os resultados precisam ser exatamente y₁ e y₂. Se uma verificação falhar, revise sinais, frações e a troca de coordenadas.
Erros que mais alteram o resultado
Não troque apenas a ordem dos y ao calcular a: se inverter y₂ − y₁ para y₁ − y₂, também precisa inverter x₂ − x₁ para x₁ − x₂. Não confunda o coeficiente b com o valor de y em qualquer ponto: b é o valor quando x = 0. Não descarte uma reta horizontal, pois y = b é uma função constante. E não tente atribuir um coeficiente angular finito a uma reta vertical.
Para conferir a forma da equação, o significado da inclinação e os casos de reta vertical, consulte a seção Linear Functions, do OpenStax. Os três exemplos numéricos acima são resoluções elaboradas para este exercício.
