Para encontrar la ecuación de una función afín a partir de dos puntos distintos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), calcula primero a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) y después usa uno de los puntos para obtener b = y₁ − ax₁. La expresión buscada es f(x) = ax + b. Este procedimiento requiere que x₁ y x₂ sean diferentes; cuando las abscisas son iguales y las ordenadas distintas, la recta es vertical y no representa una función de x.
¿Qué representan los coeficientes a y b?
En f(x) = ax + b, el coeficiente a mide la variación de y por cada unidad de variación de x y determina la pendiente de la recta. Si a es positivo, la recta asciende de izquierda a derecha; si es negativo, desciende; si es cero, es horizontal. El coeficiente b es f(0), es decir, la altura a la que la recta corta el eje y, en (0, b). Cuando a = 0, la expresión describe una función constante, que no es una función polinómica de primer grado.
Paso a paso: hallar la ecuación con dos puntos
- Identifica las coordenadas A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂), manteniendo cada x asociado a su y correspondiente.
- Comprueba que x₂ − x₁ no sea cero. Si lo es, examina el caso de recta vertical antes de intentar dividir.
- Calcula la pendiente: a = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁). Mantén el mismo orden de las restas en el numerador y el denominador.
- Sustituye las coordenadas de uno de los puntos en y = ax + b y despeja b = y₁ − ax₁.
- Escribe f(x) = ax + b y sustituye los dos valores originales de x para comprobar que los valores de y coincidan con los datos.
Ejemplo 1: dos puntos con coordenadas enteras
Considera A(1, 2) y B(4, 5). La variación de y es 5 − 2 = 3 y la de x es 4 − 1 = 3. Por tanto, a = 3/3 = 1. Con A se obtiene 2 = 1 · 1 + b, de modo que b = 1. La ecuación es f(x) = x + 1.
Comprueba sustituyendo ambos puntos: f(1) = 1 + 1 = 2 y f(4) = 4 + 1 = 5. En la gráfica, marca A y B, marca también (0, 1), que es la intersección con el eje y, y traza la única recta que pasa por los dos puntos distintos. Al avanzar tres unidades en x, sube tres en y.
Ejemplo 2: puntos con coordenadas fraccionarias
Ahora usa A(0, 1/2) y B(2, 3/2). El cálculo es a = [(3/2) − (1/2)]/(2 − 0) = 1/2. Como el primer punto ya tiene x = 0, su valor de y proporciona directamente b = 1/2. Así, f(x) = (1/2)x + 1/2.
Comprueba: f(0) = 1/2 y f(2) = 1 + 1/2 = 3/2. En el plano cartesiano, la recta corta el eje y en 1/2 y sube una unidad en y cuando x aumenta dos unidades. Las fracciones no cambian el método: basta con conservar las operaciones y las escalas de la gráfica.
Ejemplo 3: cuando los puntos no definen una función de x
Considera A(2, 1) y B(2, 4). El denominador de la fórmula de la pendiente sería 2 − 2 = 0, y no se puede dividir entre cero. Los puntos determinan la recta vertical x = 2, pero no una ecuación de la forma f(x) = ax + b: para el mismo x = 2 habría y = 1 e y = 4. En la gráfica, los puntos se alinean verticalmente, lo que muestra que la relación tampoco supera la prueba de la recta vertical.
Hay una salvedad importante: si ambos pares ordenados fueran exactamente iguales, no serían dos puntos distintos que determinaran una recta única. En ese caso, los datos tampoco permitirían deducir una sola ecuación.
Cómo comprobar la respuesta en la gráfica y por sustitución
- Encuentra la intersección (0, b) y marca ese punto sobre el eje y.
- Usa a = Δy/Δx para identificar los desplazamientos vertical y horizontal; por ejemplo, a = 1/2 significa subir 1 al avanzar 2.
- Marca los dos puntos originales respetando la escala de cada eje. Ambos y (0, b) deben estar sobre la misma recta.
- Calcula f(x₁) y f(x₂); los resultados deben ser exactamente y₁ e y₂. Si alguna comprobación falla, revisa signos, fracciones y correspondencia de coordenadas.
Errores frecuentes que alteran el resultado
No inviertas solo el orden de las y al calcular a: si cambias y₂ − y₁ por y₁ − y₂, también debes cambiar x₂ − x₁ por x₁ − x₂. No confundas b con el valor de y en cualquier punto: b es el valor cuando x = 0. No descartes una recta horizontal, pues y = b es una función constante. Y no asignes una pendiente finita a una recta vertical.
Para consultar la forma de la ecuación, el significado de la pendiente y los casos de recta vertical, visita la sección Linear Functions de OpenStax. Los tres ejemplos numéricos anteriores se desarrollaron para este ejercicio.
