O sinal do delta determina o tipo de resposta de uma equação do segundo grau: se Δ > 0, há duas raízes reais distintas; se Δ = 0, há uma raiz real dupla; se Δ < 0, não há raízes reais. O procedimento é o mesmo nos três casos: identificar os coeficientes, calcular o discriminante e aplicar a fórmula de Bhaskara quando ela produzir raízes no conjunto considerado.
Primeiro, identifique a, b e c
Escreva a equação na forma ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0. O coeficiente a acompanha x2, b acompanha x e c é o termo independente. Um sinal negativo faz parte do coeficiente: em x2 − 5x + 6 = 0, temos a = 1, b = −5 e c = 6. Se algum termo não aparecer, seu coeficiente será zero. Por exemplo, em 2x2 − 8 = 0, b = 0.
Calcule Δ = b2 − 4ac. Depois use x = (−b ± √Δ)/(2a), lembrando que o símbolo ± representa os dois sinais, não uma multiplicação. Colocar coeficientes negativos entre parênteses ajuda a evitar erros.
Como ler o resultado do delta
| Discriminante | Soluções reais | Parábola no gráfico |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Duas raízes distintas | Corta o eixo x em dois pontos |
| Δ = 0 | Uma raiz dupla | Toca o eixo x em um ponto |
| Δ < 0 | Nenhuma raiz real | Não cruza o eixo x |
A tabela considera coeficientes reais e soluções reais. Delta negativo não significa que a equação esteja errada ou que a resposta seja x = 0: significa que não existe solução em ℝ. Ao ampliar o estudo para os números complexos, ela tem duas raízes complexas conjugadas.
Exemplo 1: delta positivo e duas raízes
Resolva x2 − 5x + 6 = 0.
- Coeficientes: a = 1, b = −5, c = 6.
- Delta: Δ = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.
- Bhaskara: x = (5 ± √1)/2 = (5 ± 1)/2.
- Raízes: x1 = 3 e x2 = 2.
Conferência: para x = 3, 32 − 5 × 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0. Para x = 2, 22 − 5 × 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0. As duas substituições devolvem zero, como exige a equação. No gráfico, a parábola corta o eixo x em 2 e 3.
Exemplo 2: delta zero e raiz dupla
Resolva x2 − 4x + 4 = 0.
- Coeficientes: a = 1, b = −4, c = 4.
- Delta: Δ = (−4)2 − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0.
- Bhaskara: x = (4 ± √0)/2 = 4/2 = 2.
Os sinais positivo e negativo dão o mesmo resultado porque √0 = 0. Portanto, x = 2 é uma raiz dupla, não duas raízes distintas. Confira substituindo: 22 − 4 × 2 + 4 = 4 − 8 + 4 = 0. Também é possível verificar pela fatoração (x − 2)2 = 0. A parábola toca o eixo x no ponto x = 2.
Exemplo 3: delta negativo e ausência de raízes reais
Resolva, no conjunto dos números reais, x2 + x + 1 = 0.
- Coeficientes: a = 1, b = 1, c = 1.
- Delta: Δ = 12 − 4 × 1 × 1 = 1 − 4 = −3.
- Na fórmula apareceria √(−3), que não é um número real. Portanto, não há soluções reais.
Conferência sem adivinhar um valor de x: x2 + x + 1 = (x + 1/2)2 + 3/4. Para qualquer x real, o quadrado é maior ou igual a zero; somado a 3/4, o resultado é sempre positivo. Assim, a expressão nunca é zero e seu gráfico não encontra o eixo x. Se o exercício pedir soluções complexas, elas são x = (−1 ± i√3)/2, com i2 = −1; isso não muda a ausência de raízes reais.
Como conferir sem confundir os três casos
- Reorganize todos os termos para que o lado direito seja zero e confirme que a ≠ 0.
- Anote a, b e c com seus sinais. Calcule primeiro b2 e depois 4ac.
- Classifique Δ antes de tirar a raiz quadrada. Se Δ < 0, registre a ausência de soluções reais quando o domínio for ℝ.
- Quando houver raízes reais, substitua cada uma na equação original. O resultado deve ser zero; se for diferente, revise contas e sinais.
Uma checagem adicional é comparar as raízes com o gráfico: dois encontros, um toque ou nenhum encontro com o eixo x, conforme o sinal de Δ. Essa leitura gráfica ilustra a conta, mas não substitui a verificação algébrica.
Erros comuns e prática rápida
- Esquecer os parênteses em (−5)2: o quadrado de −5 é 25, não −25.
- Trocar −b por b: com b = −4, o numerador começa em 4.
- Achar que Δ = 0 significa x = 0: a raiz é −b/(2a), que no segundo exemplo vale 2.
- Tratar Δ < 0 como uma única raiz negativa: nesse caso, não há raiz real.
Teste seu entendimento: (1) 2x2 − 3x + 1 = 0; (2) x2 + 6x + 9 = 0; (3) x2 − 2x + 5 = 0. Respectivamente, os deltas são 1, 0 e −16. As respostas reais são x = 1 e x = 1/2; x = −3 (raiz dupla); e nenhuma raiz real. Confira as duas primeiras substituindo as raízes nas equações.
Para aprofundar a fórmula quadrática, o discriminante e exercícios adicionais, consulte o material aberto de equações do segundo grau da OpenStax.
