El signo del discriminante determina el tipo de respuesta de una ecuación de segundo grado: si Δ > 0, hay dos raíces reales distintas; si Δ = 0, hay una raíz real doble; si Δ < 0, no hay raíces reales. El procedimiento es el mismo en los tres casos: identificar los coeficientes, calcular el discriminante y aplicar la fórmula general cuando produzca raíces en el conjunto numérico considerado.
Primero, identifica a, b y c
Escribe la ecuación en la forma ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0. El coeficiente a acompaña a x2, b acompaña a x y c es el término independiente. El signo negativo forma parte del coeficiente: en x2 − 5x + 6 = 0, tenemos a = 1, b = −5 y c = 6. Si no aparece un término, su coeficiente es cero. Por ejemplo, en 2x2 − 8 = 0, b = 0.
Calcula Δ = b2 − 4ac. Después utiliza x = (−b ± √Δ)/(2a), recordando que ± indica los dos signos, no una multiplicación. Colocar los coeficientes negativos entre paréntesis ayuda a evitar errores.
Cómo interpretar el discriminante
| Discriminante | Soluciones reales | Parábola en la gráfica |
|---|---|---|
| Δ > 0 | Dos raíces distintas | Corta el eje x en dos puntos |
| Δ = 0 | Una raíz doble | Toca el eje x en un punto |
| Δ < 0 | Ninguna raíz real | No corta el eje x |
La tabla supone coeficientes reales y soluciones reales. Un discriminante negativo no significa que la ecuación esté mal o que la respuesta sea x = 0: significa que no existe solución en ℝ. Al ampliar el estudio a los números complejos, la ecuación tiene dos raíces complejas conjugadas.
Ejemplo 1: discriminante positivo y dos raíces
Resuelve x2 − 5x + 6 = 0.
- Coeficientes: a = 1, b = −5, c = 6.
- Discriminante: Δ = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1.
- Fórmula general: x = (5 ± √1)/2 = (5 ± 1)/2.
- Raíces: x1 = 3 y x2 = 2.
Comprobación: para x = 3, 32 − 5 × 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0. Para x = 2, 22 − 5 × 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0. Ambas sustituciones dan cero, tal como exige la ecuación. En la gráfica, la parábola corta el eje x en 2 y 3.
Ejemplo 2: discriminante cero y raíz doble
Resuelve x2 − 4x + 4 = 0.
- Coeficientes: a = 1, b = −4, c = 4.
- Discriminante: Δ = (−4)2 − 4 × 1 × 4 = 16 − 16 = 0.
- Fórmula general: x = (4 ± √0)/2 = 4/2 = 2.
Los signos más y menos producen el mismo resultado porque √0 = 0. Por tanto, x = 2 es una raíz doble, no dos raíces distintas. Comprueba por sustitución: 22 − 4 × 2 + 4 = 4 − 8 + 4 = 0. También puedes comprobarlo mediante la factorización (x − 2)2 = 0. La parábola toca el eje x en x = 2.
Ejemplo 3: discriminante negativo y ausencia de raíces reales
Resuelve, en el conjunto de los números reales, x2 + x + 1 = 0.
- Coeficientes: a = 1, b = 1, c = 1.
- Discriminante: Δ = 12 − 4 × 1 × 1 = 1 − 4 = −3.
- En la fórmula aparecería √(−3), que no es un número real. Por tanto, no hay soluciones reales.
Comprobación sin adivinar un valor de x: x2 + x + 1 = (x + 1/2)2 + 3/4. Para cualquier x real, el cuadrado es mayor o igual que cero; al sumar 3/4, el resultado siempre es positivo. Así, la expresión nunca es cero y su gráfica no encuentra el eje x. Si el ejercicio pide soluciones complejas, son x = (−1 ± i√3)/2, con i2 = −1; esto no cambia la ausencia de raíces reales.
Cómo comprobar sin confundir los tres casos
- Ordena todos los términos para que el lado derecho sea cero y confirma que a ≠ 0.
- Anota a, b y c con sus signos. Calcula primero b2 y después 4ac.
- Clasifica Δ antes de extraer la raíz cuadrada. Si Δ < 0, indica que no hay soluciones reales cuando el dominio es ℝ.
- Cuando existan raíces reales, sustituye cada una en la ecuación original. El resultado debe ser cero; de lo contrario, revisa las operaciones y los signos.
Una comprobación adicional consiste en comparar las raíces con la gráfica: dos intersecciones, un punto de tangencia o ninguna intersección con el eje x, según el signo de Δ. La gráfica ilustra el cálculo, pero no sustituye la comprobación algebraica.
Errores frecuentes y práctica rápida
- Olvidar los paréntesis en (−5)2: el cuadrado de −5 es 25, no −25.
- Cambiar −b por b: con b = −4, el numerador empieza en 4.
- Creer que Δ = 0 significa x = 0: la raíz es −b/(2a), que en el segundo ejemplo vale 2.
- Interpretar Δ < 0 como una sola raíz negativa: en este caso no hay raíces reales.
Pon a prueba lo aprendido: (1) 2x2 − 3x + 1 = 0; (2) x2 + 6x + 9 = 0; (3) x2 − 2x + 5 = 0. Sus discriminantes son, respectivamente, 1, 0 y −16. Las respuestas reales son x = 1 y x = 1/2; x = −3 (raíz doble); y ninguna raíz real. Comprueba las dos primeras sustituyendo las raíces en las ecuaciones.
Para profundizar en la fórmula general, el discriminante y otros ejercicios, consulta el material de acceso abierto de OpenStax sobre ecuaciones cuadráticas.
