En un árbol de probabilidad, la operación correcta depende de dónde se mire: multiplica a lo largo de un camino, suma caminos terminales alternativos y, cuando una condición elimina parte del árbol, renormaliza solo lo que queda. Esta forma de leer el diagrama evita memorizar fórmulas aisladas y convierte la probabilidad condicional en un procedimiento visual.
El método en una frase
- Multiplica aquí: cuando la pregunta exige que varias etapas del mismo camino ocurran juntas.
- Suma aquí: cuando el evento deseado puede ocurrir por distintos caminos terminales mutuamente excluyentes.
- Renormaliza aquí: cuando recibes información nueva, descartas los caminos incompatibles y haces que el total restante vuelva a valer 1.
La idea coincide con la regla del producto para eventos en varias etapas presentada por OpenStax y con la interpretación de la probabilidad condicional como una restricción del espacio muestral descrita en material de estadística de UC Berkeley.
Problema base: ¿de qué línea vino un artículo revisado?
Una empresa recibe el 60% de sus artículos de la línea A y el 40% de la línea B. En la línea A, el 10% de los artículos se marca para revisión. En la línea B, el 20% se marca para revisión. Se elige un artículo al azar y sabemos que fue marcado para revisión. ¿Cuál es la probabilidad de que proceda de la línea B?
El árbol comienza con dos opciones de origen:
- Línea A: 0,60.
- Línea B: 0,40.
Después, cada origen se divide en “revisión” y “sin revisión”:
- Si vino de A: revisión 0,10; sin revisión 0,90.
- Si vino de B: revisión 0,20; sin revisión 0,80.
1. Multiplica aquí: calcula cada camino completo
Llegar a una hoja del árbol significa recorrer una secuencia de eventos. Por eso, la probabilidad de cada hoja es el producto de las probabilidades escritas en las ramas de ese camino.
| Camino | Cálculo | Probabilidad |
|---|---|---|
| A y revisión | 0,60 × 0,10 | 0,06 |
| A y sin revisión | 0,60 × 0,90 | 0,54 |
| B y revisión | 0,40 × 0,20 | 0,08 |
| B y sin revisión | 0,40 × 0,80 | 0,32 |
Este es el razonamiento de la regla de multiplicación: para llegar a “B y revisión”, primero hay que estar en B y después seguir la rama “revisión”. Así, P(B y revisión) = P(B) × P(revisión | B) = 0,40 × 0,20 = 0,08.
2. Suma aquí: reúne los caminos que producen el mismo evento
Ahora queremos la probabilidad total de que un artículo sea marcado para revisión, sin condicionar todavía por su origen. “Revisión” puede ocurrir por dos caminos terminales distintos: A y revisión, o B y revisión. Como un mismo artículo no puede proceder simultáneamente de las dos líneas, esas hojas son mutuamente excluyentes y pueden sumarse directamente.
P(revisión) = 0,06 + 0,08 = 0,14.
Este 0,14 es importante: representa toda la masa de probabilidad que sobrevive cuando sabemos que el artículo fue revisado.
3. Renormaliza aquí: convierte la condición en el nuevo universo
Al recibir la información “el artículo fue marcado para revisión”, los caminos “A y sin revisión” y “B y sin revisión” dejan de ser posibles. Solo quedan 0,06 de A y revisión y 0,08 de B y revisión. Juntos suman 0,14, pero dentro del nuevo universo condicionado ese total debe representar 1.
Renormalizar significa dividir cada camino superviviente por el total superviviente:
- P(A | revisión) = 0,06 ÷ 0,14 ≈ 0,4286, o 42,86%.
- P(B | revisión) = 0,08 ÷ 0,14 ≈ 0,5714, o 57,14%.
Por lo tanto, una vez que sabemos que el artículo fue revisado, la línea B pasa a ser el origen más probable, aunque solo produzca el 40% del total de artículos. Esto ocurre porque la tasa de revisión en B es mayor. La operación “dividir por el total que sobrevivió” es exactamente la lógica de P(A | B) = P(A y B) / P(B): la condición redefine el espacio muestral relevante.
4. Verificación final
Antes de terminar, haz cuatro comprobaciones sencillas:
- Las ramas que salen de cada nodo suman 1: 0,10 + 0,90 = 1 y 0,20 + 0,80 = 1.
- Las cuatro hojas suman 1: 0,06 + 0,54 + 0,08 + 0,32 = 1.
- La probabilidad total del evento condicionante está entre 0 y 1: P(revisión) = 0,14.
- Después de renormalizar, las alternativas condicionadas suman 1: 0,4286 + 0,5714 = 1, salvo redondeo.
Cómo decidir entre multiplicar, sumar y renormalizar
| Señal en la pregunta | Operación | Qué calculas | Ejemplo |
|---|---|---|---|
| “y después”, “y”, una secuencia de etapas | Multiplicar | Probabilidad de un camino completo | A y revisión: 0,60 × 0,10 |
| “o”, “por cualquiera de estos caminos” | Sumar hojas compatibles con el evento | Probabilidad total de un evento con rutas alternativas | Revisión: 0,06 + 0,08 |
| “dado que”, “sabiendo que”, “entre los que...” | Renormalizar | Probabilidades dentro del nuevo universo condicionado | B dado revisión: 0,08 ÷ 0,14 |
Por qué la suma de hojas suele ser simple
La regla general para “A o B” no siempre es una suma simple. Cuando dos eventos pueden ocurrir al mismo tiempo, hay que restar su intersección. Pero las distintas hojas terminales de un árbol representan resultados mutuamente excluyentes: un experimento termina en una hoja o en otra, no en ambas. Por eso, al reunir hojas terminales que satisfacen el evento buscado, la suma directa es válida. La propia OpenStax utiliza esta propiedad al sumar resultados finales en diagramas de árbol.
La independencia cambia los números, no el método
Si la segunda etapa es independiente de la primera, la probabilidad de la segunda rama no cambia según el primer resultado. En ese caso, P(B | A) = P(B), y el producto del camino puede escribirse como P(A) × P(B). Pero no uses esa forma por costumbre. En problemas de probabilidad condicional, es más seguro preguntar primero: “¿la probabilidad de la siguiente rama depende de lo que ya ocurrió?”. Si depende, usa la probabilidad condicional indicada en ese nodo.
Renormalizar es Bayes visto desde el árbol
Muchos problemas piden la dirección inversa a la de la información proporcionada. En el ejemplo, conocemos P(revisión | A) y P(revisión | B), pero la pregunta pide P(B | revisión). El árbol resuelve esa inversión sin obligarte a empezar por la fórmula de Bayes: primero multiplicas para obtener los caminos completos, luego sumas para hallar la probabilidad de la evidencia y, por último, divides el camino de interés por ese total. La fórmula compacta de Bayes es una manera de escribir esas mismas tres etapas.
Errores comunes que el árbol ayuda a evitar
- Sumar probabilidades de ramas consecutivas. Las ramas de la misma ruta forman una secuencia; el camino se calcula multiplicando.
- Multiplicar caminos alternativos. Si el evento puede ocurrir por una hoja o por otra, reúne esas hojas mediante una suma.
- Usar 20% como respuesta final. Ese 20% es P(revisión | B), no P(B | revisión). Invertir la condición cambia la pregunta.
- Renormalizar antes de calcular las hojas. Primero determina cuánto aporta cada camino al evento observado; después divide por el total observado.
- Olvidar comprobar el total. Un árbol completo debe terminar con hojas que sumen 1, salvo redondeos.
Un procedimiento que funciona en ejercicios
- Identifica las etapas y dibuja un nodo para cada punto de decisión.
- Escribe en cada rama una probabilidad válida para ese nodo; las ramas que salen del mismo nodo deben sumar 1.
- Multiplica a lo largo de cada camino para obtener las probabilidades de las hojas.
- Marca qué hojas satisfacen el evento preguntado.
- Suma esas hojas si existe más de un camino posible.
- Si aparece “dado que” o recibes información nueva, descarta las hojas incompatibles y divide cada superviviente por la suma de los supervivientes.
- Haz la verificación final: totales entre 0 y 1 y, cuando corresponda, sumas iguales a 1.
La idea principal es operativa: la forma del árbol te dice qué cálculo hacer. Un camino completo pide multiplicación; los caminos terminales alternativos piden suma; la información nueva pide restricción y renormalización. Con este mapa, las fórmulas dejan de ser reglas sueltas y pasan a resumir un razonamiento que ya puedes ver.
